쉬운 정적분 (2) 잘게 자를수록 정확해진다

미리 하나 말해둘게. 오늘 극한이라는 말이 나온다. 이 말에 데인 사람 많은 거 안다. 근데 겁먹지 마. 극한은 무슨 어려운 기호가 아니라, 끝없이 잘게 자르면 어떻게 되나 지켜보는 것뿐이야. 그게 다야.

지난 편 기억나? 구불구불한 땅을 세로로 잘라 직사각형들의 합으로 넓이를 어림했지. 근데 직사각형이 경계랑 딱 안 맞아서 틈이 남는다고 했잖아. 오늘은 그 틈 이야기야. 조각을 잘게 자를수록 틈이 어떻게 줄어드는지, 끝까지 자르면 무슨 일이 생기는지 같이 보자.

동생: “직사각형이랑 곡선이 딱 안 맞잖아. 위에 틈이 남는데?”

누나: “그럼 더 잘게 잘라봐.”

동생: “아, 잘게 자르니까 틈이 확 작아지네.”

누나: “끝없이 잘게 자르면 그 틈이 0이 돼. 그때가 진짜 정확한 값이야.”

곡선으로 보면 틈이 눈에 잘 안 들어와. 그러니까 위쪽 경계를 곧은 비탈로 바꿔서 보자. 흙이 비스듬히 쌓인 언덕을 옆에서 본 모양이라고 생각하면 돼. 걱정 마, 원리는 곡선이든 비탈이든 똑같으니까. 그냥 보기 편한 걸로 보는 것뿐이야.

성기게 자르면 틈이 크다

자, 비탈 아래를 네 조각으로만 잘라 직사각형을 세워 보자. 각 직사각형 높이는 그 조각 왼쪽 끝 높이에 맞출게. 그럼 비탈이 오른쪽으로 올라가는 만큼, 직사각형 위로 삼각형 모양 틈이 남아. 왜 남냐고? 직사각형 윗변은 평평한데 비탈은 계속 올라가니까, 그 사이가 벌어지는 거야. 조각이 네 개뿐이라 이 삼각형이 꽤 크지. 아래 위쪽 그림이 그 모습이야.

이번엔 같은 비탈을 열 조각으로 잘라 보자. 아래쪽 그림이야. 봐봐, 직사각형이 얇아지니까 위에 남던 삼각형도 그만큼 납작하고 작아지지. 조각 수를 늘릴수록 직사각형 계단이 비탈에 바짝 달라붙어. 이 흐름 하나만 눈에 담아둬.

그 틈이 곧 오차인데, 굵을 때와 얇을 때를 나란히 짚어 보자.

말로만 하면 안 믿기지? 직접 해보자. 아래는 곡선 하나를 직사각형으로 어림한 그림이야. 슬라이더로 조각 수를 늘려 봐. 어림 넓이가 참값에 얼마나 붙는지, 그 차이가 몇 퍼센트인지 바로 보여.

끝까지 자르면 틈이 사라진다

자, 여기서 상상을 한 걸음만 더 밀어 보자. 조각을 100개, 1000개, 셀 수 없이 많게 자르면 어떻게 될까. 직사각형은 종잇장처럼 얇아지고, 위에 남던 삼각형 틈은 점점 0에 가까워져. 무한히 잘게 자른다는 이 마지막 상상 속에서, 어림값은 참값에 정확히 도달해. 여기가 이 편의 핵심이야.

3조각, 9조각, 그리고 무한 조각까지 그 흐름을 그림으로 보자.

수학에서는 이렇게 끝없이 잘게 만들어 어떤 값에 다가가는 걸 극한(limit)이라고 불러. 이름만 무섭지, 방금 네가 한 상상 그대로야. 조각을 한없이 얇게, 개수를 한없이 많게. 그게 극한이야. 정적분은 바로 이 극한까지 밀어붙인 잘게 잘라 더하기다. 조각이 몇 개뿐일 때는 어림값이지만, 무한히 잘게 자른 그 끝에서는 어림이 아니라 정확한 값이 돼. 이거 외우려 들지 마. 방금 그림으로 봤으니까 그냥 남는 거야.

왜 이게 대단한가

가만 생각하면 이거 진짜 신기한 일이야. 직사각형은 아무리 많아도 곡선이나 비탈이랑 생김새가 다르잖아. 그런데 그 다르게 생긴 것들을 끝없이 잘게 만들어 더하면, 경계 아래 정확한 넓이가 딱 나와. 다르게 생긴 쉬운 조각들의 합이, 어렵게 생긴 도형의 참값이랑 똑같아지는 거야. 정적분이 힘을 갖는 지점이 바로 여기야.

예시 문제

이번 건 앞에서 본 비탈 그림을 숫자로 직접 재보는 거야. 조각을 늘리면 오차가 어떻게 줄어드는지 네 손으로 확인하게 될 거다. 겁먹지 마, 곱하고 더하는 것뿐이야.

문제 1. 왼쪽 끝 높이 0에서 오른쪽 끝 높이 8미터까지 곧게 올라가는 비탈이 있어. 밑변 가로 길이는 4미터야. 이 비탈 아래를 두 조각으로 잘라, 각 조각 왼쪽 끝 높이로 직사각형을 세워서 넓이를 어림해 보자. 두 조각의 왼끝 높이는 각각 0미터와 4미터고, 폭은 각각 2미터야. 어림 넓이는 얼마고, 참값과는 얼마나 차이 날까?

직접 해보고 내려와. 풀이 간다.

풀이. 먼저 어림값. 직사각형 둘의 넓이를 더하면 돼. 왼쪽 조각은 폭 2에 높이 0이니까 넓이 0, 오른쪽 조각은 폭 2에 높이 4니까 넓이 8. 둘을 더하면 0 더하기 8은 8제곱미터야. 이제 참값. 이 비탈 아래는 밑변 4, 높이 8인 삼각형이잖아. 삼각형 넓이는 밑변 곱하기 높이 나누기 2, 곧 4 곱하기 8은 32, 나누기 2는 16제곱미터. 그러니 참값은 16인데 두 조각 어림값은 8, 무려 8이나 모자라. 왜 이렇게 모자라냐면, 조각이 굵어서 직사각형이 비탈 아래를 뚝뚝 끊어 크게 비워 두거든. 어림값 8제곱미터, 참값과 오차 8제곱미터.

문제 2. 같은 비탈을 이번엔 네 조각으로 잘라 보자. 네 조각의 왼끝 높이는 각각 0, 2, 4, 6미터고 폭은 각각 1미터야. 어림 넓이는 얼마고, 오차는 문제 1보다 얼마나 줄었을까?

방금이랑 똑같이 더하면 돼. 해보고 내려와.

풀이. 폭이 넷 다 1미터니까 높이만 더해도 넓이가 나와. 0 더하기 2 더하기 4 더하기 6은 12, 여기에 폭 1을 곱해도 그대로 12제곱미터야. 참값은 아까 구한 그 삼각형, 16제곱미터 그대로고. 그러니 오차는 16 빼기 12, 4제곱미터. 자 봐. 조각을 둘에서 넷으로 늘렸더니 오차가 8에서 4로 딱 반 토막 났지? 여덟, 열여섯, 백 조각으로 더 잘게 자르면 오차는 계속 줄어서 0으로 가고, 그 끝, 곧 무한히 잘게 자른 극한에서 어림값은 참값 16에 딱 붙어. 이게 정적분이야. 네 조각 어림값 12제곱미터, 오차 4제곱미터, 그리고 끝까지 자르면 정확히 16.

정리

자, 정리하자. 조각을 잘게 자를수록 직사각형과 경계 사이 틈이 작아지고, 끝없이 잘게 자른 극한에서 그 틈은 사라져. 그래서 정적분은 대충 잘라 더한 어림값이 아니라, 무한히 잘게 잘랐을 때 도달하는 정확한 값이야. 봐, 극한이라는 말도 별거 아니었지? 다음 편에서는 이 쌓아 더하기가 뜻밖의 짝을 만나는 이야기를 할 거야. 쌓는 일과 변하는 빠르기가 사실 동전의 양면이라는 이야기지. 여기까지 왔으면 이 시리즈 거의 다 온 거야.