쉬운 정적분 (3) 쌓기와 변화는 서로 반대다

저금통 하나 떠올려봐. 매일 동전이든 지폐든 한 줌씩 넣어 온 그 통. 넣을 땐 그날 얼마 넣는지만 보이는데, 어느 날 흔들어보면 제법 묵직하지. 여기 두 가지가 있어. 날마다 넣는 돈, 그리고 통에 그러모인 총액. 오늘 이야기는 이 둘 사이에 숨은 관계다.

앞의 두 편에서 정적분은 잘게 잘라 더하는 일, 곧 쌓는 일이라고 했지. 넓이를 얇은 조각으로 쌓았어. 여기까지 따라왔으면 이미 잘하고 있는 거야. 오늘은 좀 놀라운 얘기를 얹는다. 이 쌓기가 아주 친한 짝을 하나 두고 있거든. 그 짝이 변화의 빠르기야. 둘은 서로를 되돌리는 반대 작업이지. 미적분에서 제일 유명한 대목인데, 말로만 들으면 아리송하지? 겁먹지 마. 방금 그 저금통 하나면 다 풀린다.

동생: “적분이랑 미분, 둘이 무슨 관계야?”

누나: “동전의 양면 같은 거야. 하나가 쌓기면, 하나는 그 쌓이는 빠르기.”

동생: “그게 왜 서로 반대야?”

누나: “쌓은 걸 도로 풀면 빠르기가 나오거든. 저금통으로 보면 바로 안다.”

저금통에 쌓이는 돈

자, 날마다 저금통에 돈을 넣는다고 해보자. 어떤 날은 천 원, 어떤 날은 이천 원, 또 어떤 날은 오백 원. 그날그날 넣는 돈이 들쭉날쭉하지. 이 그날 넣는 돈을 하루치라고 부를게. 이 말 하나만 기억해둬.

통에 쌓인 총액은 그때까지 넣은 하루치를 다 더한 값이야. 3일째 총액? 1일치 더하기 2일치 더하기 3일치지. 어디서 본 그림 아니야? 그렇지, 앞 편에서 직사각형을 더해 넓이를 쌓던 거랑 똑같아. 하루치를 날마다 쌓아 총액을 만드는 게 바로 쌓기, 곧 적분이야. 봐, 넓이 쌓던 거랑 하나도 안 달라.

거꾸로 읽으면 변화의 빠르기

자, 이제 거꾸로 읽어 보자. 오늘 총액이 어제보다 얼마나 늘었지? 딱 오늘 넣은 하루치만큼 늘었어. 4일째 총액에서 3일째 총액을 빼면? 4일치가 튀어나와. 위 총액 그림에서 계단이 하루 사이에 뛰어오른 높이, 그게 그날 하루치랑 정확히 같아.

총액 계단과 그 뛴 높이를 그림으로 보면 이렇다.

이게 핵심이야. 쌓인 총액이 늘어나는 빠르기가 곧 그날의 하루치라는 거. 무언가가 얼마나 빠르게 변하는지를 재는 걸 수학에서는 미분(differentiation)이라고 해. 그러니까 총액을 미분하면 하루치가 나와. 거꾸로 하루치를 날마다 쌓으면 총액이 나오고. 쌓기와 변화의 빠르기, 곧 적분과 미분은 이렇게 서로를 되돌려. 하나가 다른 하나를 풀어 주는 거지. 이거 외우지 마, 저금통으로 방금 눈으로 봤잖아. 미분 자체가 뭔지는 쉬운 미분 시리즈에서 순간의 기울기로 쉽게 풀었어.

자동차로 다시 보기

저금통이 안 와닿으면 자동차로 가자. 똑같은 이야기야. 자동차 속도가 저금통 하루치에 해당해. 1시간에 40킬로미터로 달리면 그 한 시간 동안 40킬로미터를 가지. 시간마다 속도가 달라져도, 각 시간에 간 거리를 다 더하면 총 이동 거리가 돼. 속도를 시간에 걸쳐 쌓은 게 이동 거리야. 이게 적분이지.

거꾸로, 이동 거리가 늘어나는 빠르기가 바로 그 순간의 속도야. 이동 거리를 미분하면 속도가 나와. 봐, 저금통에서 총액과 하루치의 관계가 자동차에서 이동 거리와 속도의 관계로 그대로 옮겨왔지. 쌓인 것과 그 쌓이는 빠르기, 이 한 쌍이 세상 곳곳에서 같은 모양으로 되풀이돼. 하나 알면 다 보이는 거야.

예시 문제

이번 건 저금통이랑 자동차로 배운 그 얘기 그대로야. 쌓으면 총액, 거꾸로 읽으면 그날의 변화. 더하기랑 빼기 하나씩이면 끝난다. 겁먹지 마.

문제 1. 저금통에 사흘 동안 돈을 넣었어. 1일에 1200원, 2일에 800원, 3일에 1500원. 3일째까지 저금통에 쌓인 총액은 얼마일까?

직접 더해보고 내려와. 풀이 간다.

풀이. 쌓인 총액은 그때까지 넣은 하루치를 다 더한 값이라고 했지. 그러니 사흘 치를 그냥 더하면 돼. 1200 더하기 800은 2000, 여기에 1500을 더하면 3500. 그러니 3일째까지 쌓인 총액은 3500원이야. 이게 바로 잘게 잘라 쌓기, 곧 적분이야. 하루치라는 작은 조각들을 날마다 쌓아 총액을 만든 거지. 넓이 조각 더하던 거랑 하나도 안 달라. 답은 3500원.

문제 2. 이번엔 거꾸로 읽어 보자. 자동차의 누적 이동 거리를 봤더니, 1시간째까지 40킬로미터, 2시간째까지 90킬로미터를 갔어. 그럼 2시간째의 그 한 시간 동안에는 몇 킬로미터를 갔고, 그 한 시간 평균 속도는 시속 몇 킬로미터일까?

빼기 한 번이면 나와. 해보고 내려와.

풀이. 누적 거리가 한 시간 사이에 얼마나 늘었는지를 보면, 그게 그 시간에 간 거리야. 저금통에서 총액이 하루 사이 뛴 만큼이 그날 하루치였던 거랑 똑같지. 2시간째 누적 90킬로미터에서 1시간째 누적 40킬로미터를 빼면 50킬로미터. 그러니 그 한 시간 동안 50킬로미터를 갔어. 한 시간에 50킬로미터를 갔으니 그 시간 평균 속도는 시속 50킬로미터고. 봐, 쌓인 이동 거리를 거꾸로 읽어 속도를 꺼냈지? 이게 이동 거리를 미분하면 속도가 나온다는 그 얘기야. 저금통에선 총액을 거꾸로 읽어 하루치, 자동차에선 이동 거리를 거꾸로 읽어 속도. 똑같은 한 쌍이지. 답은 그 한 시간에 50킬로미터, 평균 시속 50킬로미터.

정리: 세 편을 한 줄로

자, 세 편을 한 줄로 묶어 보자. 정적분은 한 번에 못 재는 걸 잘게 잘라 쉬운 조각으로 더하는 일이고(1편), 그 조각을 끝없이 잘게 자르면 어림이 아니라 정확한 값이 되며(2편), 이렇게 쌓는 일은 변화의 빠르기를 재는 미분과 서로를 되돌리는 짝이야(3편). 잘게 잘라 더한다. 이 한 생각에서 넓이도, 쌓인 총액도, 이동 거리도 다 나와.

봐, 별거 아니지? 어려워 보이는 기호 뒤에는 늘 이렇게 쉬운 그림 하나가 숨어 있어. 정적분도 그랬어. 그 인테그랄 기호에 겁먹었던 게 좀 억울할 정도잖아. 여기까지 온 너, 이미 다 이해한 거야.