나누기의 두 가지 뜻: 나눠 갖기와 덜어 담기

나누기? 초등학교 때 다 뗐지. 그래서 시시하다고? 그럼 하나만 물어보자. 나누기에 뜻이 둘인 거 알아? 몰랐지. 근데 네 탓 아니야. 학교에서 계산하는 법만 가르치고, 그 안에 서로 다른 물음이 두 개 숨어 있다는 건 아무도 안 짚어줘서 그래. 비율이니 평균이니 단가니 하는 말 앞에서 슬그머니 헷갈렸던 것도 실은 다 그 두 물음 때문이고. 그거 전부 나누기거든. 오늘은 그 두 뜻을 하나씩 열어볼 건데, 그 전에 나누기의 정체부터 한 줄로 못 박고 가자.

나누기는 1당 얼마로 다시 재는 일이다.

이게 전부다. 왜 이게 나누기의 정체인지, 왜 이런 게 필요했는지만 천천히 알아보자. 먼저 왜 필요했는지부터. 두 반이 한 학기 동안 읽은 책을 세어 봤어. 1반은 500권, 2반은 300권. 총 권수만 보면 1반이 200권이나 더 읽었으니 1반이 책벌레처럼 보이지.

동생: “누나, 1반이 500권, 2반이 300권 읽었대. 1반이 이겼지?”

누나: “인원이 다르잖아. 1반은 40명, 2반은 20명이야.”

동생: “그럼 한 명당으로 나눠 봐야겠네?”

누나: “그래. 나누면 2반이 더 읽었어. 나누기가 그래서 공정한 비교의 도구야.”

그런데 봐봐. 반 인원을 보면 이야기가 홱 달라진다. 1반은 40명이 500권을 읽었고, 2반은 20명이 300권을 읽었어. 인원이 다르면 총 권수만으로는 어느 반이 더 읽었는지 못 가려. 그치? 각각을 인원으로 나눠서 한 사람당 권수로 바꿔보자. 1반은 500 나누기 40, 곧 12.5권. 2반은 300 나누기 20, 곧 15권. 나누고 나니 순위가 뒤집히지. 한 사람으로 치면 2반이 더 읽었어.

봤지? 여기서 나누기는 단순히 뭘 똑같이 가르는 셈이 아니었어. 인원이 제각각인 두 반을 같은 자 위에 딱 세워서 공정하게 비교하게 만들었잖아. 근데 이 얘길 제대로 하려면 먼저 짚고 갈 게 있어. 나누기가 대체 무슨 뜻이냐. 이게 하나가 아니거든.

나누기는 뜻이 둘이다

12 나누기 3은 4다. 이건 알지? 근데 여기서부터가 진짜야. 셈은 하나인데, 이 식이 답하는 물음은 사실 두 개거든. 하나씩 보자.

첫 번째. 사탕 12개를 세 명이 똑같이 나눠 갖는다고 해봐. 한 명당 몇 개야? 4개지. 자, 여기서 3이 뭐냐. 나눠 가질 사람 수, 곧 묶음의 개수야. 답으로 나온 4는? 한 명이 받는 몫, 곧 한 묶음의 크기고. 이렇게 몇 묶음으로 나눌지를 미리 정해두고 한 묶음의 크기를 구하는 걸 등분제(partitive division)라고 한다. 쉽게 말하면 똑같이 나눠 갖기다.

두 번째. 이번엔 사탕 12개를 한 봉지에 3개씩 담아. 봉지는 몇 개 나와? 4봉지지. 봐, 아까랑 3의 역할이 완전히 뒤바뀌었어. 이번엔 3이 한 봉지의 크기, 곧 한 묶음의 크기야. 답 4는 봉지의 수, 곧 묶음의 개수고. 한 묶음의 크기를 먼저 정해두고 몇 묶음이 나오는지 세는 걸 포함제(quotative division)라고 한다. 쉽게 말하면 몇 개씩 덜어 담기다.

정리해봐. 똑같은 12 나누기 3 = 4인데, 한쪽에서 4는 한 명당 사탕 개수고 다른 쪽에선 4가 봉지의 수야. 숫자는 똑같이 4인데 그 4가 세상에서 가리키는 게 서로 달라. 나눠 갖기냐, 덜어 담기냐. 나누기라는 한 연산 안에 이 두 물음이 같이 숨어 있는 거지. 이거 하나 알아챘으면 오늘 절반은 온 거다.

이름도 잠깐 짚고 가자. 이름 몰라서 괜히 겁먹는 경우가 많거든. 근데 나누기라는 말 자체는 미분·적분 같은 한자어랑 달라. 순우리말이야. 나누다에서 왔고, 몫도 나머지도 다 우리말이라 이름이 하나도 안 어렵다. 다만 위 두 뜻에 붙은 등분제(等分除)와 포함제(包含除)는 한자어야. 등분제는 고를 등(等)에 나눌 분(分), 곧 똑같이 나누는 나눗셈이고, 포함제는 품을 포(包)에 머금을 함(含), 곧 몇 개씩 담아 몇 묶음이 들어가는지 보는 나눗셈이지. 이름이 어렵지 뜻은 방금 본 그대로야. 겁먹을 거 없어.

재밌는 건 나머지도 두 뜻으로 갈린다는 거야. 13개를 4로 나누면 몫 3에 나머지 1이지. 등분제로 읽어봐. 네 명한테 3개씩 주고 남은 1개, 누구한테도 못 준 사탕이야. 이번엔 포함제로 읽어봐. 4개씩 세 봉지 채우고 남은 1개, 봉지 하나를 못 채운 사탕이지. 같은 나머지 1인데 한쪽은 못 나눠준 몫이고 한쪽은 못 채운 자투리야. 같은 1이 이렇게 달라진다니까.

두 뜻이 만나는 곳: 1당 얼마

자, 여기서부터가 핵심이야. 나눠 갖기랑 덜어 담기, 겉보기엔 딴 물음 같지? 근데 결국 한 자리에서 만나. 둘 다 1을 기준으로 다시 재는 일이거든.

봐봐. 등분제는 대놓고 1당 얼마를 물어. 12개를 3명에게 나누면 1명당 4개잖아. 그럼 포함제는? 뒤집어 보면 얘도 1의 이야기야. 3개짜리 봉지를 하나, 둘, 채워가며 12에 닿을 때까지 세는 거니까, 3을 한 단위로 놓고 그 단위가 몇 번 들어가는지 재는 셈이거든. 결국 둘 다 1이 기준이지.

그래서 a 나누기 b는 딱 한 문장으로 읽혀. b를 1로 봤을 때 a는 얼마냐. 이게 나누기의 정체야. 외우라는 게 아니라, 방금 사탕으로 본 게 이 한 줄이라는 거야. 그리고 이 정체 하나 덕분에 나누기는 우리가 매일 쓰는 온갖 값으로 얼굴을 바꾼다.

• 속도 = 거리 ÷ 시간. 시간을 1로 맞춘 값, 곧 1시간당 간 거리.
• 평균 = 합계 ÷ 개수. 개수를 1로 맞춘 값, 곧 1개당 몫.
• 단가 = 가격 ÷ 수량. 1개당 가격.
• 밀도 = 무게 ÷ 부피. 부피를 1로 맞춘 값.

봐, 전부 같은 꼴이잖아. 무언가를 1당 얼마로 환산하는 거. 속도도 평균도 단가도 이름만 다르지 하는 일은 똑같아. 기준량을 1로 맞춰 다시 재기. 이게 나누기가 진짜로 하는 일이다. 이거 하나만 잡으면 저 네 개를 따로 외울 필요가 없어.

그래서 나누기가 비교의 도구다

1당 얼마로 맞추는 게 왜 중요하냐고? 그래야 크기가 제각각인 것들을 공정하게 비교할 수 있거든. 도입부의 두 반으로 다시 가보자.

총 권수만 놓고 보면 1반이 500으로 2반 300보다 많지. 근데 잠깐. 1반은 40명, 2반은 20명이야. 인원이 다른데 총 권수를 그냥 나란히 놓는 게 말이 돼? 그건 100미터 뛴 사람이랑 30미터 뛴 사람의 걸음 수를 그냥 비교하는 거랑 똑같아. 불공평하지. 각각을 인원으로 나눠서 한 사람당 권수로 바꿔봐. 그제야 둘이 같은 자 위에 서. 1반은 12.5권, 2반은 15권. 한 사람으로 치면 2반이 더 읽었어.

평균이 하는 일도 정확히 이거야. 사과나무 많은 과수원이랑 적은 과수원의 총 수확량을 그냥 비교하면 당연히 나무 많은 쪽이 이기지. 그게 무슨 의미가 있어. 나무 수로 나눠서 한 그루당 수확량으로 맞춰야 공정한 비교가 되는 거야. 기억해. 나누기는 크기가 제각각인 것들을 1이라는 공통의 자에 딱 세우는 도구다.

무엇으로 나누느냐가 결론을 바꾼다

근데 여기서 조심해야 할 게 있어. 나누기가 강력한 만큼 함정도 딱 여기 있거든. 무엇으로 나누느냐, 곧 분모를 뭘로 잡느냐가 결론을 통째로 뒤집어.

예를 들어보자. 어떤 반의 시험 평균을 낸다고 해. 분자는 반 전체 점수 합 3500점, 이건 고정이야. 근데 분모를 뭘로 잡느냐에 따라 숫자가 딴판이 돼. 반 정원 40명으로 나누면 87.5점. 근데 그날 시험을 실제로 본 사람은 35명이었어. 결석한 5명 빼고 35명으로 나누면? 100점이야. 같은 3500점인데 87.5점이랑 100점은 완전 딴 이야기잖아. 놀라운 건 어느 쪽도 틀린 계산이 아니라는 거야. 그냥 무엇을 기준으로 삼았느냐가 다를 뿐이지.

그래서 비율을 볼 땐 분자보다 분모를 먼저 봐야 해. 이거 진짜 중요하니까 기억해. 분모를 고르는 건 단순한 계산 선택이 아니야. 무엇을 기준으로 공정하다고 볼 거냐를 정하는 선언이거든. 분모를 슬쩍 바꾸면 같은 데이터로 정반대 인상을 줄 수 있어. 그걸 노리는 사람도 있고. 퍼센트의 기준을 어디에 두느냐가 왜 그렇게 중요한지는 퍼센트와 퍼센트포인트 글에서 더 파고들었어.

직접 밀어 보자. 아래 슬라이더로 2반 인원(분모)을 바꾸면, 같은 300권이라도 한 명당 권수가 달라지고 어느 반이 앞서는지가 뒤집히는 지점이 보인다.

0으로는 왜 못 나누나

자, 마지막이야. 나누기의 두 뜻을 손에 쥐고 있으면, 그 유명한 금기 하나가 왜 금기인지도 저절로 풀려. 0으로는 나눌 수 없다, 이 규칙 말이야. 학교에서 그냥 외우라고만 했지? 왜 그런지 같이 보자.

포함제로 물어봐. 사탕 12개를 한 봉지에 0개씩 담으면 몇 봉지 나와? 0개씩 담는 봉지는 아무리 만들어도 사탕이 안 줄어. 영원히 12에 못 닿아. 몇 봉지냐는 물음에 끝나는 답이 없는 거지.

등분제로 물어도 똑같아. 12개를 0명에게 똑같이 나눠주면 1명당 몇 개야? 나눠줄 사람이 아예 없잖아. 1명당이라는 말 자체가 성립을 안 해.

곱셈의 반대로 봐도 결론은 같아. 12 나누기 3이 4인 이유가 뭐야? 3 곱하기 4가 12라서지. 그럼 12 나누기 0은 0에 뭘 곱해야 12가 되냐를 묻는 거야. 근데 0에는 뭘 곱해도 0이잖아. 12가 되는 수가 없어. 답이 될 수 있는 수가 세상에 아예 없는 거지.

그래서 0으로 나누기는 계산하다 틀리는 게 아니야. 물음 자체가 아예 성립을 안 하는 자리인 거지. 답이 어려운 게 아니라 답이 없는 거야. 봐, 나누기가 무슨 뜻인지 알고 나니까 이게 외운 규칙이 아니라 뜻에서 곧장 따라 나온 결론이라는 게 보이지? 이게 외우지 말라는 이유야.

예시 문제

자, 여기까지 왔으면 나누기의 두 얼굴이 손에 잡혔을 거야. 이제 직접 두 개만 풀어보자. 겁먹지 마, 방금 사탕으로 본 거 그대로야.

문제 1. 초콜릿 15개가 있어. (가) 다섯 명이 똑같이 나눠 가지면 한 명당 몇 개일까? (나) 한 봉지에 5개씩 담으면 봉지는 몇 개 나올까?

직접 한번 해보고 내려와. 풀이 간다.

풀이. 둘 다 셈은 똑같이 15 나누기 5 = 3이야. 근데 그 3이 가리키는 게 서로 달라. 이걸 봐야 해.

(가)는 나눠 갖기, 곧 등분제야. 나눌 사람 수 5명을 먼저 정해두고 한 명 몫을 구하는 거지. 그러니 답 3은 한 명당 초콜릿 3개다. 여기서 5는 묶음의 개수, 곧 사람 수고.

(나)는 덜어 담기, 곧 포함제야. 이번엔 한 봉지 크기 5개를 먼저 정해두고 몇 봉지 나오는지 세는 거지. 그러니 답 3은 봉지 3개다. 여기선 5가 한 묶음의 크기, 곧 봉지 크기고.

봐, 똑같은 15 나누기 5 = 3인데 (가)에서 3은 한 명 몫이고 (나)에서 3은 봉지 수야. 5도 한쪽은 사람 수, 한쪽은 봉지 크기고. 숫자는 같은데 세상에서 가리키는 게 다르지? 이게 나누기의 두 뜻이야. 풀리지?

문제 2. 라면을 사러 갔어. 큰 봉지는 5개에 4000원, 작은 봉지는 3개에 2700원이야. 어느 쪽이 한 개당 더 싼 걸까?

직접 한번 해보고 내려와. 풀이 간다.

풀이. 4000원이랑 2700원을 그냥 나란히 놓으면 안 돼. 개수가 다르잖아. 5개랑 3개를 같은 자에 못 세우지. 도입부 두 반이랑 똑같은 함정이야. 그럼 어떻게? 1개당 얼마인지로 맞춰. 그게 단가고, 단가는 가격을 수량으로 나눈 값이지.

큰 봉지는 4000 나누기 5 = 800, 곧 한 개에 800원. 작은 봉지는 2700 나누기 3 = 900, 곧 한 개에 900원.

이제 둘이 같은 자 위에 섰어. 한 개당 800원이랑 900원. 큰 봉지가 100원 더 싸다. 봐, 총 가격만 보면 2700원짜리 작은 봉지가 싸 보였는데, 1개당으로 나눠 맞추니까 큰 봉지가 이겼지? 나누기가 크기 다른 걸 공정하게 견주게 해준다는 게 이거야. 별거 아니지?

정리

정리하자. 나누기는 얼굴이 하나가 아니야. 몇 묶음으로 똑같이 나눠 한 묶음의 크기를 구하는 나눠 갖기(등분제), 그리고 한 묶음의 크기를 정해놓고 몇 묶음인지 세는 덜어 담기(포함제). 이 두 물음이 결국 1당 얼마라는 한 자리에서 만나고. 그 1당 값이 속도, 평균, 단가, 한 사람당 몫으로 이름만 바꿔 가며, 크기가 제각각인 것들을 같은 자에 세워 공정하게 비교하게 해줘. 그리고 그 비교가 정직하려면 무엇으로 나눴는지, 곧 분모부터 봐야 하고. 봐, 별거 아니지? 초등학교 때 나누기 4로 끝난 줄 알았던 게 좀 억울할 정도잖아.

곱셈이랑 덧셈이 각각 무엇을 세는 연산이었는지는 그리고는 곱하고 또는은 더한다에서, 곱셈을 덧셈으로 눕히는 로그 이야기는 로그가 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 이유에서 다뤘어. 이번 글은 거기에 나누기 한 조각을 더한 거야. 궁금하면 이어서 봐.